ÓBECSEI GIMNÁZIUM

Matematika

FORGÁSTESTEK

Képzeld el, hogy egy derékszögű háromszöget megforgatsz az egyik befogója körül! Ekkor az átfogója és a másik befogója egy kúpot rajzol le a térben. 

Mivel forgatással hoztuk létre, ezért ennek a kúpnak forgáskúp a neve.

Egy másik lehetőség:

Veszel egy körlapot és egy a kör síkjára nem illeszkedő pontot. Ha a pontot a körvonal minden pontjával összekötöd, akkor is kúpot kapsz. Az így kapott kúp csak akkor lesz forgáskúp, ha a pont és a kör középpontját összekötő egyenes merőleges a kör síkjára.

Ha a kiinduló lap nem kör, akkor kúpszerű test jön létre. Figyeld meg! A gúlák is a kúpszerű testek közé tartoznak!

Ebben a leckében a forgáskúpokkal foglalkozunk, amelyeket röviden csak kúpoknak nevezünk majd.

A kúpoknál a körlap neve alaplap, a görbe felületé palást. A kúpnak nincs éle, de van egy csúcsa. A csúcs és az alaplap távolságát a kúp magasságának nevezzük. A csúcsot az alaplap (alapkör) határvonalának bármely pontjával összekötve alkotót kapunk.

Mivel a kúp magassága, az alaplap sugara és a kúp alkotója derékszögű háromszöget határoz meg, ezért a három adat közötti kapcsolatot a Pitagorasz-tétellel adhatjuk meg:

????2=????2+????2a2=r2+m2.

A kúp felszíne az alaplap és a palást területének összegével egyenlő:

????=????+????A=T+P.

A palást egy körcikk, a körcikk területe pedig a csúcsánál található szög nagyságától függően meghatározható abból, hogy az azonos sugarú körnek hányadrésze.

A kúp felszíne ezzel a képlettel számolható ki:

????=????2????+????????????=????????(????+????)A=r2π+rπa=rπ(r+a).

A kúp térfogatának meghatározásához is a rajzon látható kísérletet mutatjuk. A meg­figyelhető összefüggést a gúlákhoz hasonlóan itt sem bizonyítjuk, de használjuk.

A henger térfogata háromszorosa az ugyan­olyan alapterületű és magasságú kúp térfogatának, ezért a kúpok térfogata ezzel a képlettel számítható ki:

????=????⋅????3=????2????????3V=T⋅m3=r2πm3,

ahol T az alaplap területe, r az alaplap sugarának hossza, m a kúp magasságának hossza.